背包问题刷题

整数划分

一个正整数 n 可以表示成若干个正整数之和，形如：n=n1+n2+…+nk，其中 n1≥n2≥…≥nk,k≥1。

我们将这样的一种表示称为正整数 n 的一种划分。

现在给定一个正整数 n，请你求出 n 共有多少种不同的划分方法。

输入格式

共一行，包含一个整数 n。

输出格式

共一行，包含一个整数，表示总划分数量。

由于答案可能很大，输出结果请对 109+7 取模。

分析：用f[i][j]来表示状态，即用前i个数，刚好凑出j的所有情况，很明显每一个数的个数是不限量的，所以这是一个完全背包问题。我们要求的属性就是个数

直接用完全背包的状态转移，就是要么不选要么至少选一个f[i,j]=f[i-1,j]+f[i,j-i]

代码实现：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1010,M=1e9+7;
int f[N][N];
int main()
{
    int n;cin>>n;
    for(int i=0;i<=n;i++)f[i][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++){
            f[i][j]=f[i-1][j];
            if(j>=i)f[i][j]=(f[i][j]+f[i][j-i])%M;
        }
    cout<<f[n][n];
}

这里注意一下初始化，在求状态的时候要求所有状态都要已知，所以这里会涉及到的f[i][0]要初始化

和完全背包一样的优化思路，将二维变成一维

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1010,M=1e9+7;
int f[N];
int main()
{
    int n;cin>>n;
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=i;j<=n;j++){
            f[j]=(f[j]+f[j-i])%M;
        }
    cout<<f[n];
}